(докладчик - Кравченко А. А.,
научный руководитель - Кравченко С.П.)
Целью доклада является нахождение наиболее «простых» элементарных функций, пригодных для создания итерационных систем счисления [1]. Как и в цитируемой работе, оставим в силе соглашение о том, что все формульные выражения для g(x) действуют лишь при x>0 , а на отрицательную полуось распространяются требованием четности g(x).
Прежде всего, обратимся к дробно-линейным функциям, на возможность использования которых в этом качестве указывала сама Н.В.Баранова [1].
Самым простым является выбор g(x)=x–(1/x) . Без дополнительных усилий здесь, кроме всех необходимых условий, выполнено требование нормировки: g(1)=0. А уравнение g(x)=1 приводит к уравнению золотого сечения x2–x–1=0, чем и оправдан наш выбор названия этой системы счисления.
К тому же самому выбору привела и другая наша попытка: поиск g(x) среди суперпозиций тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
Требование монотонности g(x) для x>0 выделяет арктангенс и ветви тангенса. Чтобы вписаться в необходимые для g(x) условия, нужны еще и линейные замены по обеим осям. В итоге самым простым из приемлемых формульных выражений оказалось g(x)=–2ctg(2arctgx) . Преобразование его к виду x–(1/x) – тождество из числа «подарков абитуриенту технического вуза».
Найдем базовые точки деления числовой оси для золотой системы счисления. Как обычно, на стартовом уровне это число 0, а на первом: –1 и +1. Запись нуля – O, единиц – NO и PO. Первая цифра в записи любого числа указывает на его знак, а вторая – на знак порядка. Базовые точки второго уровня – корни золотого сечения: (±1±Ö 5)/2 (все 4 комбинации знаков), их запись – NNO, NPO, PNO и PPO (в порядке возрастания). Базовые точки последующих уровней находятся из уравнения g(x)=b , где b – любая из базовых точек предыдущего уровня. Все эти уравнения – квадратные, что позволяет находить цифры записи числа в золотой системе счисления значительно быстрее и проще, чем в башенных [2].
Литература
